[White noise VS Gaussian noise]

Stochastic differential equation (SDE)는 noise항을 가지고 있는 differential equation이다. 

그 중에 유명한 Langevin equation을 살펴보면 다음과 같다.

\dot{x} = a(x, t) + b(x, t)\xi(t)

여기서 \xi(t)가 noise항이고, 노이즈의 평균은 보통 0이다, <\xi(t)> = 0.

이 noise의 autocorrelation, 즉 시간에 따라 이 noise가 어떤 상관관계를 가지고 있느냐에 따라 white noise과 Gaussian noise로 나눈다. 시간에 대해 아무런 correlation이 없다면 즉, 앞에 어떤 noise가 나왔느냐와 상관없이 다음 noise의 크기가 정해진다면 autocorrelation은 델타 함수가 된다. <\xi(t)\xi(t')>=\delta(t-t'). 이런 종류의 noise를 white noise라고 한다. 

이에 반해, 시간에 대해 correlation을 가지는 경우도 생각해 볼 수 있다. 앞서 나온 noise의 크기에 따라 다음 noise의 크기가 영향을 받는 경우라고 생각할 수 있다. autocorrelation 이 0이 아니지만 higher-order moment들 즉, <\xi(t)\xi(t')\xi(t'')>같은 값들은 0이 되는 noise를 Gaussian noise라고 한다. 

	<\xi(t)\xi(t')>=0 for t!=t'	higher-order moment=0 for t!=t'
White noise	o	x
Gaussian noise	x	o

white Gaussian noise는 <\xi(t)\xi(t')>=0 for t!=t' 이면서 higher-order moment=0 for t!=t'인 noise.