[index theory] nonlinear dynamics

어제 초청 강연하러 오신분이 게임이론의 대가셨는데 index theory를 이용하여 fixed point들의 stability와 asymptotic stable한 fixed point에 대해서 말씀해 주셨다. 

[1] index theory

일단 인덱스는 (-1)^(# of positive eigenvalues)로 정의된다.

맨 처음 이걸 들었을 때, 그럼 # of positive eigenvalus가 even이랑 odd인 거 밖에 구분을 못하는 데 0 이랑 2는 stability가 다른데 이게 무슨 도움이 되나 싶었다. 

그래서 질문을 드렸는데 중요한 개념이 전체 주어진 state space에서 모든 fixed point들의 index의 합이 보존 된다는 것이다.

때문에 가장 간단한 경우에 대해 idx합을 계산해두면 다른 복잡한 경우에 대해서도 idx 합이 보존이 때기 때문에 복잡한 경우에 대해 플로우를 예측해 볼 수 있고 또, 몇개의 fixed point의 idx를 알고 있는 경우 나머지 하나의 idx를 자동으로 알 수 있다.

결론은 flow예측에 아주 도움이 된다는 거다.

왜 idx의 합이 보존되는가를 생각해보면  싱크와 소스가 합쳐져서 하나의 fixed point가 되는 과정이나 하나의 fixed point가 싱크와 소스로 쪼개지는 과정을 생각해보면 자연스럽게 이해할 수 있다.

* 참고로 \dot{x}=x^2같은 경우는 idx가 0이다.

 

[2] 참고로 더 디테일한 게 궁금하면 

2D ->  포앙카레 인데스를 참조하라고하셨다.

high dimension에 대해서는 뭐라고하셨는데 못알아들음;;